偶尔偏激下有益身心……

所有的三角形都是等腰(边)三角形的证明
在看完证明之后马上就自行研究,知道了问题所在。视频到最后也没有指出问题所在,实在是太好了,因为视频的评论变得相当有意思:评论里面能够真的说出错误原因的人并不多,甚至连“当然是错的,边边角不能证明全等”这种评论都出来了,更有甚者扯上地区教育问题了,强悍啊……
这让我想起了以前的某个假币问题,貌似也是差不多的情况……结论可能有2个:
1、大部分人都是笨蛋……
2、笨蛋比较爱评论……
大约第二个结论正确一点………

某人的qmd

1978 Mosscow University Matriculation
For Non-Jews
1)write the law of cosines
2)is the function x-|x|^3 differentiable at the origin?
3)draw the graph of y=2|x|^(-1)
For Jews
1)which of the following two number is larger,(413)^(1/3)or 6+3^(1/3)
2)find the integer solutins to the equation x^y=y^x
3)prove that a convex polygon of surface area equal to 1 contains a triangle of surface area equal to 1/4

简要翻译:
1978年莫斯科大学入学考试
对非犹太人:
1)写出余弦法则。(经考证,就是传说中的cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
2)函数x-|x|^3在原点是否可导?
3)画出y=2|x|^(-1)的曲线。
对犹太人:
1)(413)^(1/3)和6+3^(1/3)哪个大?
2)求满足等式x^y=y^x的所有整数解。
3)求证:面积为1的凸多边形必定包含一个面积为1/4的三角形。…

再论硬币赌博:风险与效用

昨天上《风险管理与保险》,老师讲到风险集合的时候提到,当两个人的损失是相互独立的时候,风险集合有助于降低双方的风险,并且给出例子:

甲乙两人均有80%的概率没有损失,20%的概率损失1000,对于单个人来说,损失的期望和方差为:
E = 0 * .8 + 1000 * .2 = 200
D = (0 – 200) ^ 2 * .8 +(1000 – 200) ^2 * .2 = 160,000
如果他们实行风险集合,即一方出现损失时另外一方分担其损失,则仍然对于但个人而言:
E = 0 * .64 + 500 * .32 + 1000 * .04 = 200
D = (0 – 200) ^ 2 * .64 + (500 – 200) ^ 2 * .32 + (1000 – 200) ^2 * .04 = 80,000
方差降低了,意味着风险降低了。

此外还有书上的一个例子:据说古代长江商旅有分船装货以分散沉船损失的实践,比如有十个商人,如果他们将自己的货物全部装在各自雇的船上,万一该船遭遇险滩而沉没,那么他的货物就全部灭失了。如果他们进行合作,每艘船只装每人的十分之一货物,其中一艘船遇险沉没,则每人只损失该批货物的十分之一,这样风险就分散了。

于是回到以前提到的硬币赌博问题:改变赌博策略,并不能改变期望值,但能够改变方差。假设有700元进行赌博,我们考虑这样几种赌博策略:
策略一:全部下注,赢了就变成1400元,输了变成0元。
D = 490,000
策略二:先下注100元,输了再下注200元,再输了再下注400元;赢了的话就不玩了,这样的话有7/8概率可以赚100元,1/8概率亏700元。
D = 70,000
策略三:全部下注,赢了继续全部下注,直到拥有n元或者输掉为止。
当n趋向于无穷大时,D也趋向于无穷大。

相信没有人会选第三种策略,呵呵。这三种策略的风险是不一样的,当然风险低了的话收益看起来也低了,但是大家直觉上大概都会觉得策略二不错吧?D是一个衡量风险的方法,但也许有人认为策略一比策略二好,为了对此进行解释,可以引入效用函数。什么是效用?考虑这两件事,你必须选一件来做:
1、直接给你100元
2、玩硬币赌博游戏,赢了给你300元,输了你要支付200元
大部分人可能都倾向于选择1,如果用U(x)来代表收益x元的效用,我们有U(100) > .5 * U(300) + .5 * U(-200)。再考虑两件事,你也必须选择一样来做:
1、直接支付50元
2、玩硬币赌博游戏,赢了给你300元,输了你要支付200元
也许有人宁愿支付50元来避免输掉200的风险,那么对这个人来说,U(-50) > .5 * U(300) + .5 * U(-200)
通过这种方法,可以大体得出某个人的效用函数。用各收益的效用来取代收益来计算上面硬币赌博策略的期望,就可以发现不同策略对同一的人的效用期望是不一样的,而大部分人都是风险回避者,所以倾向于选择策略二。而对于极端的风险追逐者,策略三有机会让他获得这辈子都用不完的钱,所以他很有可能会选择策略三。

硬币赌博问题

先说一下这个硬币赌博的规则吧,很简单的,猜正反面并下注n元,如果猜对可以获得2n元,猜错了获得0元,也就是一赔一。当然这里假设出现正反面的概率都是1/2。

DSS课上无聊,于是和龙哥玩一个游戏:假设你有100块钱,对此赌博进行10次下注,下注额为0到当前你拥有的余额,试设计一种下注策略,使得最后能够赚更多的钱。我和龙哥都很轻易地赚了几十块,然后我自己一个人进行这个游戏,并且修改规则:1赔0.5。再次游戏后,我还能赚几十元。

当时我想当然地认为必定存在赚得的钱的期望大于0的策略,并且觉得应该有那么一种策略使得赚得的钱的期望大于0,在进行了若干回游戏后,我便开始用概率的观点考虑各种策略,结果沮丧地发现无论如何修改策略,至多也只能够增加赢的概率;赚得的钱的期望值总是0。

在这里有必要介绍一种流传的“必胜”策略:赢则继续下注与前次相同的金额,输则下注前次金额的两倍。这个策略的期望值其实还是0,只不过赢的可能性远大于输的可能性。而我考虑的问题是有资金和/或赌博次数限制的,所以在更换了若干种策略但仍然得到0的“赚得的钱的期望”的时候,我有了如下观点:

  1. 只要有下注次数或资金限制,就不存在一定赚钱的策略;
  2. 期望值不是一个好东西:通过改变策略,可以让赢的概率大大增加,然而代价是一旦输掉就会输很多,因此期望总是会被扯到0。

以上。其中第一点没有经过严格的数学论证,欢迎大家找到赚到的钱期望大于0的策略来推翻它,或者用数学证明它。